Paris a proposé une résolution qui menace de sanctions les auteurs de ces troubles et appelle les parties à "rejeter toute forme de violence", lors d'une réunion du Conseil de sécurité à New York qui a duré près de trois heures et demie.
L'ambassadeur adjoint de la France auprès des Nations unies, Alexis Lamek, a appelé le Conseil à "agir" et à prendre "ses responsabilités".
"Si nous laissons l'escalade des tensions se produire sans rien faire, c'est tout le pays qui risque de s'embraser", a-t-il expliqué.
"Nous sommes très inquiets par ce que nous voyons au Burundi, cet accroissement de violences politiques et ce discours de haine dans une région où c'est particulièrement inquiétant", a-t-il dit.
Le texte, dont l'AFP a obtenu une copie, pourrait être soumis au vote dans les prochains jours.
Reste à savoir si la Russie et d'autres pays africains soutiendront les sanctions, certains considérant ces troubles comme des problèmes internes au pays.
L'ambassadeur adjoint de la Russie à l'ONU Petr Iliichev a répondu "non" quand on lui a demandé si des sanctions pourraient aider à résoudre la crise. "Nous devrions trouver une approche qui contribue au processus politique".
"Le Burundi ne brûle pas", a assuré devant le Conseil le ministre des Relations extérieures du Burundi, Alain Aimé Nyamitwe, qui s'exprimait par vidéo-conférence depuis Bujumbura.
"Tout le pays est calme et les citoyens vaquent à leurs activités dans la quiétude, excepté quelques endroits circonscrits dans certains quartiers de Bujumbura, où des petits groupes de criminels armés s'activent encore", a-t-il affirmé.
Le responsable burundais a promis que le dialogue avec l'opposition "allait se poursuivre" et demandé de ne pas recourir à des sanctions qui "radicalisent les points de vue".
L'ambassadeur britannique à l'ONU, Matthew Rycroft a réclamé des mesures fortes pour empêcher le pays de sombrer dans un génocide.
"Nous nous souvenons de ce qui s'est passé dans la région, dans le Rwanda voisin il y a 21 ans", a rappelé M. Rycroft. "Nous ne devons pas laisser l'histoire se répéter".
Le génocide au Rwanda a, en à peine cent jours entre avril et juillet 1994, fait environ 800.000 morts, essentiellement parmi la minorité Tutsi.
La communauté internationale craint des violences à grande échelle, certains durs du pouvoir ayant récemment multiplié les propos incendiaires aux connotations ethniques, dans un pays à l'histoire post-coloniale jalonnée de massacres entre Hutu et Tutsi.
Le Burundi est sorti il y a moins de dix ans d'une longue guerre civile qui a fait quelque 300.000 morts entre 1993 et 2006.
L'inquiétude a été renforcée par l'expiration samedi soir d'un ultimatum très ferme, lancé aux opposants à son troisième mandat, par le président Pierre Nkurunziza, qui semble décidé à en finir avec plus de six mois de contestation.
Tout en promettant l'amnistie à ceux qui "déposeraient les armes", M. Nkurunziza a averti qu'ensuite la police serait autorisée à user "de tous les moyens" pour désarmer les quartiers contestataires.
Le projet de résolution soutenu par Paris demande par ailleurs au secrétaire général Ban Ki-moon de présenter des mesures d'ici 15 jours visant le renforcement de la présence de l'ONU au Burundi. Ces mesures sont réclamées par les défenseurs des droits de l'Homme.