Un enfant âgé d'une dizaine d'années a été tué au marché de Siyoni, dans le quartier de Ngagara, au nord de la ville, a indiqué à l'AFP une source policière.
Elle a confirmé des informations du collectif de journalistes burundais, SOS Médias Burundi, qui a diffusé sur son compte Twitter la photo de la victime, gisant dans une rue et recouverte d'une couverture.
Trois grenades, lancées par des hommes circulant à moto, ont explosé dans le centre de Bujumbura, dans les quartiers de Rohero et Buyenzi, et deux autres à Ngagara, selon des témoins contactés par l'AFP.
"On ne sait pas ce qui se passe mais c'est clair, on veut nous terroriser. J'ai déjà entendu trois explosions de grenades et ici, près du rond-point central (de Rohero), il y a eu plusieurs blessés", cinq hommes et une femme, a déclaré à l'AFP un habitant de Bujumbura sous couvert d'anonymat.
Après un début du mois de janvier plutôt calme, Bujumbura est en proie à une recrudescence d'attaques à la grenade, devenues quasi-quotidiennes depuis début février.
Le pouvoir et l'opposition se rejettent mutuellement la responsabilité de ces "attaques terroristes", qui se sont multipliées depuis le début de la crise au Burundi sans jamais être revendiquées.
Le pays est plongé dans une profonde crise politique depuis la candidature fin avril 2015 du président Pierre Nkurunziza - réélu en juillet - à un troisième mandat.
Les autorités burundaises ont déjoué un coup d'Etat militaire en mai et ont brutalement réprimé six semaines de manifestations à Bujumbura, mais elles n'ont pu enrayer l'intensification des violences - désormais armées - et l'organisation de mouvements rebelles embryonnaires déterminés à chasser M. Nkurunziza.
Les violences ont déjà fait plus de 400 morts et poussé plus de 230.000 personnes à quitter le pays, parmi lesquelles de nombreux opposants, militants associatifs et journalistes, selon l'ONU.
Par ailleurs, les ministres des Affaires étrangères de l'Union européenne se sont dit prêts lundi à imposer de nouvelles sanctions économiques au Burundi après l'échec des discussions visant à mettre fin à la crise politique qui a fait plus de 400 morts dans le pays.
"L'UE (...) est prête à imposer des mesures restrictives contre ceux dont les actions pourraient avoir conduit ou pourraient conduire à des actes de violence et de répression (et) à de graves violations des droits humains", déclarent les ministres réunis à Bruxelles dans un communiqué.
Ceux qui entravent une solution politique pourraient également être visés, ajoutent les ministres.
L'UE a imposé l'an dernier un gel des avoirs et une interdiction de visas à l'encontre de quatre responsables burundais proches du président Pierre Nkurunziza pour avoir fait un usage excessif de la force lors des affrontements qui ont conduit à sa réélection.