Dans ce contexte, le président américain fait monter la pression sur Téhéran en frappant les Houthis, leurs alliés au Yémen.
Il a menacé de tenir l'Iran directement pour responsable de nouvelles attaques des Houthis, qui ont multiplié les attaques contre le commerce maritime au large du Yémen depuis le début de la guerre entre Israël et le Hamas dans la bande de Gaza en octobre 2023.
Les frappes américaines au Yémen sont "conformes à sa stratégie: faire monter les tensions, créer la perception d'une catastrophe imminente, et puis tenter d'imposer une solution à partir d'une position de pression maximale sur Téhéran", relève Sina Toossi, du Center for International Policy.
En parallèle, Donald Trump a imposé de nombreuses sanctions, notamment contre le pétrole iranien.
Dans le même temps, le président américain, qui se décrit comme "faiseur de paix", a dit le 7 mars avoir écrit à l'Iran pour proposer des négociations visant selon lui à prévenir le développement par Téhéran d'armes nucléaires, brandissant la menace d'une intervention militaire.
A Washington, cependant, on souffle un peu le chaud et le froid, possible signe de divisions au sein de l'administration Trump.
"Il semble y avoir pas mal de contradictions au sein de l'administration Trump sur l'Iran et tôt ou tard, elles vont éclater au grand jour", commente un diplomate sous couvert de l'anonymat.
Pour l'émissaire américain au Moyen-Orient, Steve Witkoff, l'objectif de M. Trump est d'éviter un conflit militaire en établissant une relation de confiance avec l'Iran. Il a insisté sur le fait que la lettre n'était pas une menace.
Mais d'autres, comme le conseiller à la Sécurité nationale Mike Waltz, insistent sur le "démantèlement complet" du programme nucléaire iranien.
"Abandonne-le où il y aura des conséquences", a-t-il affirmé dimanche sur la chaîne CBS, précisant que "toutes les options étaient sur la table".
"En gros, vous avez le président lui-même et M. Witkoff mais je ne crois pas que personne d'autre au sein de l'administration partage l'objectif d'un accord mutuellement bénéfique" avec l'Iran, souligne Ali Vaez, de l'International Crisis Group.
La main tendue à l'Iran survient à un moment où Téhéran apparaît très affaibli, ayant subi plusieurs revers dans la région depuis l'attaque du Hamas contre Israël le 7 octobre 2023.
C'est notamment le cas en Syrie avec la chute de Bachar al-Assad en décembre ou encore au Liban où le Hezbollah, allié à l'Iran, a été frappé à la tête par l'armée israélienne.
En réponse à Washington, le ministre iranien des Affaires étrangères, Abbas Araghchi, a indiqué lundi que son pays était ouvert à des négociations indirectes avec les Etats-Unis, tout en rejetant des négociations directes "tant que l'approche de l'autre partie à l'égard de la République islamique n'aura pas changé".
Vendredi, le guide suprême iranien, Ali Khamenei, avait déclaré que les menaces des Etats-Unis "ne les mèneraient nulle part" et rejeté la proposition de dialogue de M. Trump.
Durant son premier mandat (2017-2021), M. Trump avait retiré avec fracas les Etats-Unis de l'accord international sur le nucléaire iranien, et rétabli des sanctions contre l'Iran. L'accord conclu en 2015 sous le président démocrate Barack Obama prévoyait la levée de certaines sanctions en échange d'un encadrement des activités nucléaires iraniennes.
En représailles, Téhéran a depuis pris ses distances avec l'accord, enrichissant de l'uranium à un niveau élevé (60%), tout en continuant à accumuler d'importants stocks de matière fissile, selon l'AIEA.
Les pays occidentaux, Etats-Unis en tête, soupçonnent depuis des décennies Téhéran de vouloir se doter de l'arme nucléaire. L'Iran rejette ces allégations.
"Je pense que le président Trump est déterminé à conclure un accord avec l'Iran. Je ne pense pas qu'il ait nécessairement décidé à quoi ressemblerait cet accord", relève pour sa part Alex Vatanka, du Middle East Institute.
La perspective d'une action militaire de la part d'Israël, qui a déjà frappé durement les défenses aériennes de l'Iran l'année dernière, pèse aussi sur la diplomatie.
Israël caresse l'espoir d'unir ses forces contre l'Iran avec les pays arabes du Golfe, mais la nouvelle offensive israélienne à Gaza pourrait compromettre toute alliance ouverte.